La Base 10 : le système décimal
Vous savez ce qu'est la base 10. Ce sera notre point de départ pour mettre en place les autres bases.
On dispose de 10 symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Le nombre $386$ vous le comprenez aisément depuis maintenant quelques années. $3$ est le chiffre des centaines, $8$ celui des dizaines et 6 celui des unités.
Pour comprendre la suite du cours il faut écrire $386$ autrement :
$386 = 3 \times 10^2 + 8\times 10^1 + 6 \times 10^0$
Ecrire le nombre $5624$ comme dans l'exemple précédent.
En informatique nous utilisons plusieurs bases, dans ce cours nous nous limiterons à une présentation de la base 2 pour écrire des entiers naturels. Nous verrons dans de prochains cours comment effectuer un certains nombres d'opérations dans cette base.
Nous serons amener également à découvrir l'hexadécimal ainsi que le codage des nombres réels.
La Base 2 : le binaire
Présentation
Le binaire est le système de numération à la source de la conception d'un ordinateur. Les composants d'un ordinateur fonctionnent grâce au courant électrique. L'information est donc à deux états : présence de courant 1 et absence de courant 0.
En binaire les rangs sont appelés
bit. Par exemple, le nombre
10011 occupe 5 bits. Là où tout se complique, c'est que comme je l'ai expliqué, chaque rang en binaire
ne peut avoir que deux valeurs (binaire = base 2) différentes : 0 ou 1. Pour la base 10, chaque rang représente une puissance
de 10, pour la base 2, chaque rang occupe une puissance de 2.
Le système binaire est un système de numération positionnel de base 2 dans lequel seuls les chiffres 0 et 1 peuvent apparaître.
Un bit est l'unité de base du système binaire ne pouvant prendre que deux valeurs : 0 ou 1.
"bit" est la contraction de "binary digit", littéralement "chiffre binaire".
Observer et compléter le tableau suivant qui va vous faire compter en binaire jusqu'à 10 :
| Nombre en décimal | Décomposition | Nombre en binaire |
|---|---|---|
| 0 | $0=\color{red}{0}\times2^0$ | $\color{red}{0}$ |
| 1 | $1=\color{red}{1}\times2^0$ | $\color{red}{1}$ |
| 2 | $2=\color{red}{1}\times 2^1+\color{red}{0}\times2^0$ | $\color{red}{1}\color{red}{0}$ |
| 3 | $3=\color{red}{1}\times 2^1+\color{red}{1}\times 2^0$ | $\color{red}{1}\color{red}{1}$ |
| 4 | $4=\color{red}{1}\times 2 ^2+\color{red}{0}\times2^1+\color{red}{0}\times 2^0$ | $\color{red}{1}\color{red}{0}\color{red}{0}$ |
| 5 | ||
| 6 | ||
| 7 | ||
| 8 | ||
| 9 | ||
| 10 |
Conversion décimale vers binaire
Vous avez maintenant compris la signification d'une écriture en binaire. Reste à mettre en place un algorithme qu nous permettent de faire la conversion d'un nombre écrit en base 10 en base 2.
La division euclidienne, celle que vous avez apprise en CM1, va nous permettre d'établir une méthode de conversion de la base 10 vers la base 2. Cette méthode nous permettra d'écrire un algorithme de conversion aisément.
Voici la procédure :
On divise le nombre à convertir par 2. On note le reste de la division (soit 1 soit 0).
On divise le quotient de la division précédente par 2, et on note à nouveau le reste.
On répète ce procédé, jusqu'à ce que le quotient soit 0.
On obtient alors l'encodage en binaire en lisant les restes du dernier au premier.
- $586=293\times 2 +0$ reste = 0
- $293=146\times 2+1$ reste = 1
- $146=73\times 2 +0$ reste = 0
- $73=36\times 2 +1 $ reste = 1
- $36=18\times 2 +0$ reste =0
- $18=9\times2+0$ reste = 0
- $9=4\times2 +1$ reste =1
- $4=2\times 2 +0$ reste= 0
- $2=1\times 2 +0$ reste 0
- $1=0\times 2 +1$ reste 1
Le quotient est nul, l'algorithme s'arrête.
Convertir en binaire les nombres suivants à l'aide de la méthode euclidienne
196.
119.
243.
Conversion binaire vers décimale
on ajoute les valeurs des bits multiplié par 2 à la puissance la position du bit.
$11010111_{binaire} = 1\times2^7 + 1\times 2^6 + 0\times 2^5 + 1\times 2^4 + 0\times 2^3$ $ + 1\times 2^2 + 1\times 2 ^1 + 1\times 2^0 =128+64+16+4+2+1= 215_{décimal}$
Convertir $10011001_2$ en base 10.
Convertir $10101010101_2$ en base 10.
Lien entre nombre de bits et amplitude des décimaux à coder
Avec 1 bit, quel est l'ensemble des entiers que l'on peut coder ?
Avec 2 bits, quel est l'ensemble des entiers que l'on peut coder ?
Avec 3 bits, quel est l'ensemble des entiers que l'on peut coder ?
Avec $n$ bits, quel est l'ensemble des entiers que l'on peut coder ?
nombres "codables" avec $n$ bits
Avec $n$ bits on peut coder les nombres de 0 à $2^{n}-1$. Soit $2^n$ valeurs.
IP(v4)
L'adresse IP, Internet Protocol, est utilisé quand on fait du réseau( se reporter au cours sur le réseau). C'est un numéro d'identification qui est attribué à un élément du réseau.
Dans sa version la plus utilisée, Ipv4, elle est composée de 32 bits soit de 4 octets, 1 octet étant égal à 8 bits.
Il faut savoir manipuler du binaire quand on s'intéresse de près aux réseaux. (cf cours sur le réseau ).
Pour connaître l'adresse IP de votre téléphone, rendez-vous dans le menu « Paramètres » ou « Réglages » puis dans « A propos du téléphone ». Cliquez ensuite sur « Etat », l'adresse IP de votre téléphone sera alors affichée avec les autres informations telles que le numéro IMEI .
Pour connaître celle de votre ordinateur, aller dans l'invite de commande (en tapant cmd dans la barre de recherche) puis
saisir la commande ipconfig.
Écrire l'adresse IP de votre smartphone ou de votre ordinateur.
Que remarquez vous ?
Est-ce cohérent par rapport à l'exercice précédent ?
Écrire en binaire les adresses IP de vos smartphones.
Lexique de ce cours :
- écriture en base 10
- écriture en binaire
- division euclidienne
- adresse IP
- réseau
Conversion base 2 à base 10 et réciproquement en Python
L'objectif de ce TP est la réalisation de fonctions de conversion de binaire en décimal et réciproquement
Ouvrir Jupyter et ouvrir le fichier téléchargé
Vidéos d'aide pour la correction de la partie : décimal vers binaire.
Un site pour s'entraîner.
Un site utilisé en IUT. Attention cet excellent site d'entraînement va plus loin que le programme de NSI.
Le lien pour le siteDemander le programme !
- définir le système décimal.
- définir le système binaire.
- définir un bit.
- définir un octet
- définir l'IP(v4)
- la conversion à la main d'un nombre binaire et son écriture décimale.
- la conversion à la main d'un nombre entier naturel écrit sous forme décimal et son écriture binaire.
- écrire un programme permettant de passer de l'écriture binaire d'un nombre à celle décimale.
- écrire un programme permettant de passer de l'écriture décimale d'un nombre à celle binaire.
- l'estimation de l'amplitude des nombres codables avec un nombre de bits donné
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